در طول این اموزش از شما خواسته خواهد شد که در یک نمودار نگاه کنید و شما تعدادی از محاسبات عددی روبرو می شوند. برای بررسی این محاسبات باید ماشین حساب خود را در دسترس داشته باشید. مهم است که در واقع این کار را انجام دهید تا حداکثر سود را ببرید.
یک کلاس از توابع است که اغلب در تمام علوم رخ می دهد کسانی که نوسانی هستند, و به ویژه, کسانی که توسط یک سینوس یا کسینوس مشخص . این توابع از بسیاری جهات در علم مطرح می شوند اما اولین مقدمه شما احتمالا در مطالعه امواج خواهد بود.
امواج از بسیاری جهات و در بسیاری از رسانه ها قابل تحقق هستند اما در اینجا امواج عرضی روی یک رشته را بررسی خواهیم کرد زیرا در این حالت موج روی رشته تصویری از نموداری است که می خواهیم بتوانیم ترسیم کنیم. با این حال, این مثال مشابه بسیاری از امواج دیگر خواهد بود (مثلا, امواج صوتی, امواج نور, و غیره.). هدف از این اموزش این نیست که فیزیک امواج را به شما یاد بدهد. فرض بر این است که در سایر مطالعات خود معادلات امواج متحرک و ایستاده را یاد گرفته اید.
تابلو 1 \(و = یک \گناه (\امگا تی \ساعت کی ایکس)\)
بیایید ابتدا با موج سفر شروع کنیم. معادله یک موج در حال حرکت است \(بله = یک \گناه(\امگا تی \بعد از ظهر کی ایکس)\). همانطور که می بینید, این معادله به ما می گوید جابجایی \(و\) از یک ذره در رشته به عنوان تابعی از فاصله \(ایکس\) در امتداد رشته, در یک زمان خاص تی. مورد قبلی به عنوان مثال در اینجا استفاده می شود.
در این مرحله وقتی از شما خواسته می شود چنین عملکردی را نمودار کنید سردرگمی زیادی در ذهن دانشجویان ایجاد می شود.
باید بدانید که نمی توانید نمودار کل این تابع را ترسیم کنید زیرا تابعی از دو متغیر \(ایکس\) و \(تی\) است . شما می توانید دو چیز را انجام دهید. شما می توانید تصور کنید گرفتن یک تصویر لحظهای از رشته و نشان دادن \(و\) در مقابل \(ایکس\) در یک زمان معین و یا شما می توانید یک ذره در رشته در برخی از موقعیت داده شده \(ایکس\) را انتخاب کنید و ببینید که چگونه جابجایی خود را با زمان متفاوت است. اما به طور معمول شما نمی توانید هر دو را در یک زمان انجام دهید. (ترسیم نمودارهای سه بعدی سخت است اما برخی از برنامه های گرافیکی رایانه ای اکنون می توانند به راحتی این کار را انجام دهند.)
بیایید به اولین گزینه نگاه کنیم همانطور که در بالا نشان داده شده است. به این معنا که, عکس فوری در برخی از زمان \(تی\) و ببینید که چگونه جابجایی بخش های مختلف از رشته با متفاوت \(ایکس\) . بیایید ابتدا به برخی از نمادها بپردازیم. در کنوانسیون ما علامت منفی یا مثبت به این معنی است که موجی به ترتیب به راست یا چپ حرکت می کند. "\(الف\) " دامنه موج است. حداکثر مقدار تابع سینوس 1 است بنابراین حداکثر مقدار \(و\) \(الف) است .
"\(\امگا\) " فرکانس زاویه ای نامیده می شود . بر حسب رادیان در ثانیه ( \(ثانیه^\)) اندازه گیری می شود. از زمانی که وجود دارد \(2\پی\) رادیان در یک چرخه کامل, سپس \(\امگا = 2\پی اف\) , جایی که \(اف\) فرکانس در چرخه در ثانیه یا هرتز است .
مقدار "\(ک\) "بردار موج نامیده می شود و برابر است با \(2\پی /\لامبدا, \) , جایی که" \(\لامبدا \) ," طول موج است .
مقادیر "\(الف\) " و "\(\لامبدا\) " در شکل نشان داده شده است. موج سفر با سرعت "\(و\) " داده شده توسط \(پنجم = اف\لامبدا\),. اکنون هر کسی می تواند یک منحنی سینوسی مانند این را ترسیم کرده و برچسب گذاری کند اما از مشکلات واقعی این نمودار جلوگیری شده است.
چگونه محور \(و\) را قطع می کند و در چه موقعیتی از مبدا از محور \(ایکس\) عبور می کند? ما می دانیم که این گذرگاه ها \(\لامبدا\) , از هم جدا اما تا چه حد است هر یک از مبدا? روشی که به شما نشان می دهد چگونه این کار را انجام دهید بهتر است با استفاده از یک مثال خاص انجام شود.
بیایید مورد را در نظر بگیریم \(بله = 0.5 \ گناه (3ت - 3\پی ایکس)\). اولین, چه چیزی ما در مورد این موج می دانم? بیایید یک لیست تهیه کنیم.
- \(\امگا\) = 3 رادیان / ثانیه
- بنابر این \(اف = 3 / (2\پی,) هرتز\)
- \(ک = 2\پی \) مت ر-1
- بنابراین \(\لامبدا = 2/3\) متر
دامنه 0.5 متر است و موج به سمت راست حرکت می کند. اطمینان حاصل کنید که این را درک کرده اید.
\(ی = 0.5\گناه (3\سی دی تی-3\سی دی \پی \سی دی ایکس)\)
\(\امگا = 3 راد\سی دی ثانیه^\)
\(اف = \فراک<2\pi>\چرخه های سی دی \سی دی ها^ (هرتز)\)
علامت منفی به این معنی است که موج به سمت راست حرکت می کند.
تابلو 2 در \(تی = 3\پی بازدید کنندگان\) \(و = 0.5 \گناه (9\پی-3\پی ایکس)\) \(و = 0\) وقتی که \((9\پی - 3\پی ایکس) = 0\) \(\بنابراین ایکس = 3متر\)
بیایید فرض کنیم از ما خواسته شده است که برای این موج در زمان \(تی = 3\ پی\) ثانیه ترسیم کنیم(به پانل 2 مراجعه کنید).
تابع ما به رسم است, بنابراین, \(و = 0.5\گناه (9\پی - 3\پی ایکس)\). ما حداکثر و حداقل مقادیر تابع را می دانیم. + 0.5 و-0.5 متر هستند. بنابراین تابع بین خطوط شکسته قرار دارد.
اکنون, از کجا عبور می کند \(ایکس\) محور? که همان درخواست " برای چه ارزش \(ایکس\) است \(و = 0\)?"
خوب, \(و = 0\) وقتی که \(\گناه (9\پی - 3\پی ایکس) = 0\). و یک بار زمانی که \(یک \گناه (\تتا) = 0\) زمانی است که استدلال 0 است.
بنابر این \(و = 0\) وقتی که \((9\پی - 3\پی ایکس) = 0\). یعنی وقتی \(ایکس = 3\) متر. بنابراین ما می دانیم که تابع می رود از طریق نقطه \(و = 0\) , \(ایکس = 3. \) . این با یک نقطه ابی نشان داده شده است. اما اگر اینجا 0 باشد 0 است هر \(\لامبدا\) یا 2/3 متر در دو طرف. این نقاط عبور نیز با نقاط ابی نشان داده شده است.
چگونه است که تابع رفتن را از طریق این نقطه ابی? در حال افزایش است, یا در حال سقوط? بیایید تصور کنیم که ایکس را کمی افزایش دهیم.
یعنی \((9\پی - 3\پی ایکس)\) کمی کاهش یافته است (به دلیل علامت منفی) و \(\گناه(9\پی - 3\پی ایکس)\) کمی کوچکتر می شود. اما 0 در نقطه های ابی بود. بنابراین اگر ایکس افزایش می یابد, یعنی به سمت راست حرکت می کند, بله کمی منفی خواهد شد, بنابراین, عملکرد سینوس از طریق این نقاط پایین و به سمت راست می رود. البته شما هم می دانید که در نیمه راه بین این نقاط باید از طریق نقاط قرمز بالا و راست برود.
حالا شما همه چیز را می دانید و می توانید در کل موج طراحی کنید.
در اینجا وضعیت دیگری وجود دارد که باید در نظر بگیرید. فرض کنید تابع موج اصلی بوده است \(و = -0.5 \گناه(3ت-3پ\; ایکس)\). توجه داشته باشید که همان قبل است به جز علامت منفی در جلو. یکی از راه های کنترل این کار این است که تجزیه و تحلیل را دقیقا مانند قبل انجام دهید اما همه چیز با علامت منفی در جهت بله معکوس می شود.
در ثانیه \(تی = 3\پی\) مثلا نقاط عبور مانند قبل هستند اما به جای اینکه موج به سمت پایین و به سمت راست برود بالا و به سمت راست می روند. همه ملاحظات دیگر یکسان هستند و نمودار را می توان به راحتی ترسیم کرد همانطور که در نشان داده شده است . اطمینان حاصل کنید که این را درک کرده اید.
تابلو 3 در \(تی = 3\پی بازدید کنندگان\) \(و = -0.5 \گناه (9\پی - 3\پی ایکس)\)
بیایید به طور خلاصه به مورد دیگری نگاه کنیم. فرض کنید یک نمودار از موج سفر ما در ثانیه \(تی = 3.2\پی\) مورد نظر است.
اکنون معادله ما \(بله = 0.5 \ گناه (9.6\پی - 3\پی ایکس) است. \ ) اکنون می توانید ببینید که "عبور صفر" در نقطه ای رخ می دهد که توسط \((9.6\پی-3\پی ایکس) = 0\) یا \(ایکس = 3.2\) متر داده شده است. ما همچنین "صفر عبور" هر 2/3 از یک متر در هر دو طرف از این. اینها به صورت بلوکی نشان داده شده است. باز هم می توان تقاطع ها را در نیمه راه بین راه دیگر طی کرد و نمودار را ترسیم کرد.
تابلو 4 \(ی = -0.475 متر, ایکس = 0متر\)
در \(تی = 3.2\پی بازدید کنندگان\) \(و = 0.5 \گناه(9.6\پی-3\پی ایکس)\) \(و = 0\) وقتی که \((9.6\پی-3\پی ایکس) = 0\) بنابراین, \(ایکس = 3.2\) متر
در \(ایکس = 0\), \(و = 0.5\گناه (9.6\پی )\) \ \ (و = 0.5\گناه (9.6\پی - 8\پی)\) \ \ (و = 0.5\گناه(1.6\پی)\) \ (=0.5\گناه (288^\حدود)\) \(و = 0.5 \ گناه (288-360)\) \(= 0.5\ گناه (-72)\) \(و = -0.5\گناه (72^\در هر )\) \(= -0.5 (0.95)\) \( ی = -0.475\) متر
اکنون, ارزش تابع است که به وضوح نمی \(0\) در \(ایکس = 0\), اما البته ارزش به راحتی پیدا است. در \(ایکس = 0, \) \(و = 0.5\گناه(9.6\پی ). \ ) به یاد داشته باشید \(9.6\پی\) در رادیان است و از تابع سینوس خود را تکرار می کند هر \(2\پی\) رادیان, ما می توانیم \(8\پی\) رادیان دور از, ترک \(\گناه (1.6\پی ). \)
به یاد بیاورید که \(\پی\) رادیان است \(180^\در اطراف\), به طوری که \(1.6\پی\) است 288°. \(\ترحم (288^\در اطراف) = - \گناه (72^\در اطراف) = -0.95. \ ) بنابراین \(و\) در \(ایکس = 0\) منفی است و در واقع \ \ (-0.475\) متر است. باز هم طرح نمودار کاملا مشخص شده است. مطالعه پانل 4 با دقت.
بیایید اکنون به مشکل نمودار کردن یک موج ایستاده نگاه کنیم. یک معادله کلی از یک موج ایستاده است \(و = (2ا \چون \امگا تی) \گناه کی ایکس. \ ) همه نمادها همان است که قبلا تعریف کردیم. در پرانتز قرار داده شده است تا تاکید کنیم که چیزی که ما داریم سینوس عملکرد \(ایکس\) با دامنه \(2ا \چون \امگا تی\) است که به صورت دوره ای در زمان متفاوت است. باز هم بیایید به یک مثال خاص نگاه کنیم.
فرض کنید از ما خواسته شده است که موج ایستاده را ترسیم کنیم \(بله = 0.5 \چون (7\پی) \گناه (3\پی ایکس)\) ابتدا بیایید همه چیزهایی را که می دانیم لیست کنیم. \(\امگا = 7\پی\) رادیان/دومین, بنابراین \(اف = 7\پی /2\پی = 7/2\) چرخه/دومین. \(ک = 3\پی\) مت ر-1 بنابراین \(\لامبدا = 2\پی /3\پی = 2/3\) متر.
اکنون تنها در صورتی میتوانیم موج ایستاده را رسم کنیم که به ما بگویند در چه زمانی نمودار مورد نظر است یعنی زمانی که عکس فوری گرفته شود. مثلا, چه نمودار در زمان است \(تی = 0? \ ) سپس, \(\چون (7\پی تی) = 1\) و تابع است \(بله = 0.5\گناه (3\پی ایکس). \ ) مانند قبل حداکثر مقدار \(0.5\) متر است.
تابلو 5 در \(تی = 0\) \(و = 0.5 \گناه 3\پی ایکس\)
نقاط عبور کجا هستند? خوب, \(و = 0\) وقتی که \((3\پی ایکس) = 0, \) که به معنی \(ایکس = 0, \) بنابراین تابع یک منحنی سینوسی مثبت با طول موج = است 2/3 متر. اطمینان حاصل کنید که نمودار بالا را درک کرده اید.
\(\بنابراین تی = \فراک ثانیه\)
(تی= \کت\) \(بازدید کنندگان = \کت \بار \بیگگل ( \کت \کت \بیگگر) = \کت \کدو تنبل\تی\)
فرض کنید اکنون از شما خواسته شده است که موج ایستاده را در زمان \(تی = 1/14\) ثانیه ترسیم کنید. اگر شما واقعا می دانم چیزهای خود را, شما بلافاصله خواهید دید که این \(1/4\) از یک دوره پس از \(تی = 0. \ ) شما این را در پانل 7. پس از \(اف = 7/2\) چرخه / دوم, سپس دوره برابر \(2/7\) دوم, و \(1/14\) دوم فقط \(1/4\) دوره است. اکنون, شما می دانید که, در \(1/4\) از یک دوره و \(3/4\) از یک دوره, جابجایی یک موج ایستاده است 0 در همه جا, بنابراین مشکل حل شده است.
اما فقط برای اینکه ببینیم اینطور است بیایید به تفصیل کار کنیم. جایگزینی \(تی = 1/14\) دوم به معادله موج ایستاده ما می دهد برای دامنه \(0.5\چون(7\پی 1/14) = 0.5\چون(پی /2). \) . پس از \(\چون (\پی /2) = 0, \) سپس و است \(0\) در همه جا.
سرانجام, چه یک نمودار از موج ایستاده در \(تی = 1/10\) دومین? اکنون معادله ما \(ی = 0.5\چون [7\پی (1/10)] \گناه (3\پی) است. \ ) با نگاهی به مدت دامنه, این \است(\چون (0.7\پی)\) یا \(\چون (126^\دور). \ ) \(\چون (126^\در اطراف) = - \چون (54^\در اطراف) = -0.588. \ ) این ضرب در \(0.5\) \(-0.294 است. \ ) نمودار بنابراین منحنی سینوسی منفی با دامنه \(0.294\) متر است که در زیر نشان داده شده است.
