از ماشین حساب بهره مرکب در زیر می توان برای مقایسه یا تبدیل نرخ بهره دوره های مختلف ترکیب استفاده کرد. لطفاً برای انجام محاسبات واقعی در مورد علاقه مرکب از ماشین حساب بهره ما استفاده کنید.
علاقه مرکب چیست؟
بهره هزینه استفاده از پول وام گرفته شده یا به طور خاص تر مبلغی است که یک وام دهنده برای پیشبرد پول به وام گیرنده دریافت می کند. هنگام پرداخت بهره ، وام گیرنده بیشتر درصدی از مدیر (مبلغ وام گرفته شده) را پرداخت می کند. مفهوم علاقه را می توان به علاقه ساده یا علاقه مرکب طبقه بندی کرد.
علاقه ساده به علاقه ای که فقط به اصل درآمد حاصل می شود ، که معمولاً به عنوان درصد مشخصی از مدیر مشخص می شود ، اشاره دارد. برای تعیین پرداخت بهره ، به سادگی با نرخ بهره و تعداد دوره هایی که وام برای آن فعال است ، اصل را ضرب کنید. به عنوان مثال ، اگر یک نفر 100 دلار از یک بانک با نرخ بهره ساده 10 ٪ در سال به مدت دو سال وام گرفته باشد ، در پایان دو سال ، سود به این نتیجه می رسد:
100 × 10 ٪ × 2 سال = 20 دلار
علاقه ساده به ندرت در دنیای واقعی مورد استفاده قرار می گیرد. در عوض علاقه مرکب به طور گسترده ای استفاده می شود. بهره مرکب بهره ای است که هم به عنوان اصلی و هم در مورد بهره انباشته به دست می آید. به عنوان مثال ، اگر یک نفر 100 دلار از یک بانک با نرخ سود مرکب 10 ٪ در سال به مدت دو سال وام گرفته باشد ، در پایان سال اول ، سود به این نتیجه می رسد:
100 × 10 ٪ × 1 سال = 10 دلار
در پایان سال اول ، مانده وام اصلی به علاوه بهره یا 100 دلار + 10 دلار است که برابر با 110 دلار است. علاقه مرکب سال دوم بر اساس مانده 110 دلار به جای اصلی 100 دلار محاسبه می شود. بنابراین ، علاقه سال دوم به این نتیجه می رسد:
$ 110 × 10 ٪ × 1 سال = 11 دلار
کل سود مرکب پس از 2 سال 10 + 11 دلار = 21 دلار در مقابل 20 دلار برای بهره ساده است.
از آنجا که وام دهندگان به بهره بهره می برند ، درآمد با گذشت زمان مانند یک گلوله برفی در حال رشد است. بنابراین ، بهره مرکب می تواند با گذشت زمان به وام دهندگان وام دهنده مالی پاداش دهد. هرچه ترکیبات بهره برای هر سرمایه گذاری طولانی تر باشد ، رشد بیشتر می شود.
به عنوان نمونه ساده ، یک مرد جوان در سن 20 سالگی با نرخ بازده 10 ٪ سالانه ، 1000 دلار در بورس سرمایه گذاری کرد ، میانگین بازده S& P 500 از دهه 1920. در سن 65 سالگی ، هنگامی که وی بازنشسته می شود ، این صندوق به 72. 890 دلار یا تقریباً 73 برابر سرمایه گذاری اولیه رشد می کند!
در حالی که علاقه مرکب ثروت را به طور مؤثر رشد می کند ، می تواند در برابر Debtholders نیز کار کند. به همین دلیل می توان علاقه مرکب را به عنوان شمشیر دو لبه توصیف کرد. خاموش کردن یا طولانی شدن بدهی های برجسته می تواند به طور چشمگیری میزان کل بدهی را افزایش دهد.
فرکانس های مختلف ترکیب
علاقه می تواند در هر برنامه فرکانس معین ترکیب شود اما به طور معمول سالانه یا ماهانه ترکیب می شود. فرکانس های ترکیبی بر علاقه بدهکار وام تأثیر می گذارد. به عنوان مثال ، وام با 10 ٪ نرخ بهره ترکیب نیمه سالانه نرخ بهره 10 ٪ / 2 یا 5 ٪ در هر نیم سال را دارد. به ازای هر 100 دلار وام گرفته شده ، علاقه نیمه اول سال به این نتیجه می رسد:
برای نیمه دوم سال ، علاقه به:
کل بهره 5 + 5. 25 دلار = 10. 25 دلار است. بنابراین ، 10 ٪ نرخ بهره ترکیب نیمه سالانه معادل سالانه نرخ بهره 10. 25 ٪ است.
نرخ بهره حساب های پس انداز و گواهی سپرده ها (CD) سالانه ترکیب می شوند. وام های وام مسکن ، وام سهام خانه و حساب کارت اعتباری معمولاً ماهانه مرکب است. همچنین ، نرخ بهره ترکیب شده بیشتر به نظر می رسد پایین تر به نظر می رسد. به همین دلیل ، وام دهندگان اغلب دوست دارند به جای سالانه نرخ بهره را به صورت ماهانه ارائه دهند. به عنوان مثال ، نرخ سود وام مسکن 6 ٪ به نرخ بهره 0. 5 ٪ ماهانه است. با این حال ، پس از ترکیب ماهانه ، سود 6. 17 ٪ سالانه ترکیب می شود.
ماشین حساب علاقه مرکب ما در بالا تبدیل بین روزانه ، دو هفته ای ، نیمه ماهانه ، ماهانه ، سه ماهه ، نیمه سالانه ، سالانه و مداوم (به معنای تعداد نامحدود دوره ها) فرکانس های مرکب است.
فرمول های علاقه مرکب
محاسبه علاقه مرکب می تواند شامل فرمول های پیچیده باشد. ماشین حساب ما یک راه حل ساده برای رفع این مشکل ارائه می دهد. با این حال ، کسانی که می خواهند درک عمیق تری از چگونگی کار محاسبات بتوانند به فرمول های زیر مراجعه کنند:
علاقه مرکب اساسی
فرمول اساسی برای علاقه مرکب به شرح زیر است:
A0: مبلغ اصلی یا سرمایه گذاری اولیه at: مقدار بعد از زمان t r: نرخ بهره n: تعداد دوره های ترکیب ، معمولاً در سالها بیان می شود
در مثال زیر ، یک سپرده گذار یک حساب پس انداز 1000 دلاری را باز می کند. این برنامه 6 ٪ APY را برای دو سال آینده یک بار در سال ارائه می دهد. از معادله بالا استفاده کنید تا کل ناشی از بلوغ را پیدا کنید:
At= 1000 دلار (1 + 6 ٪) 2 = 1،123. 60 دلار
برای سایر فرکانس های ترکیب (مانند ماهانه ، هفتگی یا روزانه) ، سپرده گذاران آینده نگر باید به فرمول زیر مراجعه کنند.
A0: مبلغ اصلی یا سرمایه گذاری اولیه at: مقدار بعد از زمان t n: تعداد دوره های ترکیب در یک سال r: نرخ بهره t: تعداد سالها
فرض کنید که 1000 دلار در حساب پس انداز در مثال قبلی شامل نرخ 6 ٪ بهره روزانه است. این به نرخ بهره روزانه:
6 ٪ & div ؛365 = 0. 0164384 ٪
با استفاده از فرمول فوق ، سپرده گذاران می توانند آن نرخ بهره روزانه را برای محاسبه کل حساب زیر پس از دو سال اعمال کنند:
At= 1000 $ × (1 + 0. 0164384 ٪) (2 365 365)
از این رو ، اگر یک حساب پس انداز دو ساله حاوی 1000 دلار روزانه 6 ٪ نرخ بهره را بپردازد ، در پایان دو سال به 1،127. 49 دلار افزایش می یابد.
علاقه مرکب مداوم
علاقه مداوم به طور مداوم نشان دهنده حد ریاضی است که علاقه مرکب می تواند در یک دوره مشخص به آن برسد. معادله مرکب مداوم توسط معادله زیر نشان داده شده است:
A0: مبلغ اصلی یا سرمایه گذاری اولیه at: مقدار بعد از زمان t r: نرخ بهره t: تعداد سالهای e: ثابت ریاضی e ،~2. 718
به عنوان مثال ، ما می خواستیم حداکثر میزان بهره را که می توانیم در یک حساب پس انداز 1000 دلار در دو سال بدست آوریم ، پیدا کنیم.
با استفاده از معادله بالا:
همانطور که توسط مثالها نشان داده شده است ، هرچه فرکانس ترکیب کوتاهتر باشد ، سود حاصل از آن بیشتر می شود. با این حال ، بالاتر از یک فرکانس مرکب خاص ، سپرده گذاران فقط سودهای حاشیه ای دارند ، به ویژه در مقادیر کمتری از اصل.
قانون 72 میانبر برای تعیین میزان مدت زمان خاص برای دو برابر شدن با توجه به نرخ بازده ثابت سالانه است که چقدر طول می کشد. می توان از آن برای هر سرمایه گذاری تا زمانی که شامل نرخ ثابت با علاقه مرکب در یک محدوده معقول باشد ، استفاده کند. به سادگی شماره 72 را با نرخ بازده سالانه تقسیم کنید تا مشخص شود چند سال طول می کشد تا دو برابر شود.
به عنوان مثال ، 100 دلار با نرخ ثابت بازده 8 ٪ تقریباً نه سال (72 /8) سال طول می کشد تا به 200 دلار برسد. به خاطر داشته باشید که "8" 8 ٪ را نشان می دهد ، و کاربران باید از تبدیل آن به شکل اعشاری خودداری کنند. از این رو ، در محاسبه از "8" و نه "0. 08" استفاده می شود. همچنین ، به یاد داشته باشید که قانون 72 یک محاسبه دقیق نیست. سرمایه گذاران باید از آن به عنوان یک تخمین سریع و خشن استفاده کنند.
تاریخچه علاقه مرکب
متون باستانی شواهدی را ارائه می دهد که نشان می دهد دو مورد از نخستین تمدن در تاریخ بشر ، بابلی ها و سومری ها ، برای اولین بار از علاقه های مرکب در حدود 4400 سال پیش استفاده می کردند. با این حال ، کاربرد آنها از علاقه مرکب با روشهای مورد استفاده امروزه به طور قابل توجهی متفاوت است. در درخواست آنها ، 20 ٪ از مبلغ اصلی جمع آوری می شود تا زمانی که سود برابر با مدیر باشد ، و سپس آن را به مدیر اضافه می کنند.
از نظر تاریخی ، حاکمان در بیشتر موارد علاقه ساده را قانونی می دانستند. با این حال ، برخی از جوامع همان قانونی بودن را به علاقه مرکب اعطا نکردند ، که آنها را ربا می دانند. به عنوان مثال ، قانون روم علاقه مرکب را محکوم کرد ، و هر دو متون مسیحی و اسلامی آن را گناه توصیف کردند. با این وجود ، وام دهندگان از زمان قرون وسطایی از علاقه مرکب استفاده کرده اند و با ایجاد جداول علاقه مرکب در دهه 1600 استفاده گسترده تری به دست آوردند.
یکی دیگر از عواملی که علاقه مرکب را محبوب کرد ، ثابت یا "E" اویلر بود. ریاضیدانان E را به عنوان حد ریاضی تعریف می کنند که علاقه مرکب می تواند به آن برسد.
یعقوب برنولی هنگام مطالعه علاقه مرکب در سال 1683 ، E را کشف کرد. فرقی نمی کند که کسی فواصل را در سالها ، ماهها یا هر واحد اندازه گیری دیگر اندازه گیری کند. هر دوره اضافی بازده بالاتری را برای وام دهنده ایجاد می کند. برنولی همچنین متوجه شد که این دنباله در نهایت به یک حد نزدیک می شود ، E ، که رابطه بین فلات و نرخ بهره را هنگام ترکیب توصیف می کند.
لئونارد اویلر بعداً فهمید که ثابت با تقریباً 2. 71828 برابر است و آن را E نامگذاری کرده است. به همین دلیل ، نام مداوم Euler را خرس می کند.
